Afinação e temperamento

A série harmônica dá intervalos puros: a oitava na razão 2:1, a quinta em 3:2, a quarta em 4:3. Parece natural afinar um instrumento por eles e pronto. Só que, quando se tenta fazer isso com as doze teclas da oitava, a conta não fecha. Toda a história da afinação ocidental é a história de onde esconder essa sobra.

Afinar por quintas e quartas

A oitava é o intervalo mais fácil de afinar, mas não traz nenhuma nota nova: as notas separadas por oitavas têm o mesmo nome. As razões 3:2 e 4:3 são quase tão fáceis, e cada uma dá um intervalo útil, a quinta justa e a quarta justa. Por isso a maioria dos instrumentos de corda é afinada numa série de quintas ou de quartas (BLATTER, 2007, parte 6, apêndice III).

O violino é afinado em quintas:

Ouvir o trecho

O violão, em quartas, com uma terça maior entre a terceira e a segunda corda. A parte é escrita uma oitava acima do som:

Ouvir o trecho

Empilhando quintas a partir de uma nota, as primeiras cinco já formam uma escala pentatônica, a escala usada por muitas culturas ao longo dos séculos (BLATTER, 2007, parte 6, apêndice III).

A conta que não fecha

O problema aparece quando se continua. Partindo do lá mais grave do piano e subindo doze quintas puras, passa-se por todas as doze notas e chega-se, em tese, ao lá mais agudo, sete oitavas acima. Blatter faz a conta em frequências. O lá grave vibra a 27,5 Hz; cada quinta pura multiplica a frequência por 1,5; depois de doze quintas, o resultado é 3.568,02 Hz. Subindo o mesmo lá por sete oitavas, que multiplicam por 2, o resultado é 3.520 Hz (BLATTER, 2007, parte 6, apêndice III).

As duas contas deveriam dar o mesmo lá, e erram por 48 Hz. A diferença é audível, cerca de um quarto de semitom, e se chama coma pitagórica, porque foi identificada por Pitágoras (BLATTER, 2007, parte 6, apêndice III).

A mesma coma aparece nos nomes das notas. Subindo quintas a partir de dó chega-se a sol sustenido; descendo quintas, a lá bemol. Com quintas puras, as duas notas não coincidem:

Ouvir o trecho

No piano, é a mesma tecla. Na afinação por quintas puras, são dois sons diferentes.

O sistema natural e o temperado

Med separa dois sistemas. O natural, baseado em cálculos acústicos, fixa as vibrações de cada nota pelas razões exatas, e é o dos teóricos como Pitágoras e Zarlino. Nele os semitons não são todos iguais. Med mede a diferença em comas, cada uma a nona parte de um tom: de dó a dó sustenido há cinco comas, de dó a ré bemol, quatro, e por isso dó sustenido fica um pouco mais alto que ré bemol (MED, 1996, cap. V).

O temperado iguala todos os semitons, cada um com quatro comas e meia, e divide a oitava em doze partes iguais. Med o descreve como uma renúncia: abandona-se a perfeição da afinação natural em favor do uso de todas as notas cromáticas, para facilitar a harmonia (MED, 1996, cap. V).

Blatter chega à mesma conclusão pelo teclado. Um teclado que desse todas as alturas que a música pede precisaria de dezenas de teclas por oitava; teclados experimentais assim foram construídos e se mostraram impraticáveis. A saída foi manter as doze teclas e temperar a afinação, isto é, fazer concessões (BLATTER, 2007, parte 6, apêndice III).

Cents

Para comparar sistemas, os acústicos dividem a oitava em 1.200 cents. No temperamento igual, cada semitom tem exatamente 100 cents (BLATTER, 2007, parte 6, apêndice III). Com essa régua, as diferenças ficam visíveis:

Intervalo	Pela série harmônica	Por quintas puras	Temperamento igual
quinta justa	702	702	700
quarta justa	498	498	500
terça maior	386	408	400
terça menor	316	294	300

A quinta temperada perde só 2 cents em relação à pura (BLATTER, 2007, parte 6, apêndice III). As terças perdem muito mais: a maior temperada é 14 cents mais larga que a da série harmônica, e a menor, 16 cents mais estreita.

O que o piano sacrifica

No temperamento igual, todas as quintas e quartas do teclado ficam levemente imperfeitas, e as terças ficam no tamanho errado. Cada quinta é estreitada para que a coma pitagórica desapareça; no meio do teclado, ela bate três a quatro vezes a cada cinco segundos. As terças maiores ficam largas demais, as menores estreitas demais. Blatter diz que nenhum conjunto vocal ou instrumental profissional toleraria essa afinação, mas o tecladista não tem escolha (BLATTER, 2007, parte 6, apêndice III).

Em troca, o piano ganha o que nenhum sistema puro dá: todas as tonalidades soam igualmente bem, e sol sustenido pode ser lá bemol sem problema. É o que torna possível o círculo das quintas fechado e a modulação para qualquer tom.

Antes do temperamento igual

O temperamento igual não foi a primeira solução. Entre o sistema pitagórico e ele houve outras, que distribuíam a coma de maneira desigual.

• O mesotônico, muito usado nos séculos XVI e XVII, estreitava as quintas um pouco mais para ter terças maiores puras. As tonalidades com poucos acidentes soavam muito bem; as distantes ficavam inutilizáveis, e uma quinta, a que sobrava, soava tão desafinada que ganhou o apelido de quinta do lobo.
• Os temperamentos desiguais do fim do século XVII, como os de Andreas Werckmeister, espalhavam a coma de modo que todas as tonalidades pudessem ser usadas, cada uma com uma cor ligeiramente diferente.

Med registra o tratado de Werckmeister, publicado em 1691, e diz que Bach consagrou o sistema temperado em O Cravo Bem Temperado, os 48 prelúdios e fugas em todas as tonalidades (MED, 1996, cap. V).

Quem não é obrigado a temperar

Med divide os instrumentos em dois grupos. Os temperados têm som fixo, como o piano e o órgão, e produzem as notas da escala temperada. Os não temperados, como o violino, o trombone e a voz, não têm som fixo e podem produzir as notas do sistema natural. Por isso, diz Med, eles combinam os dois: afinam naturalmente quando a harmonia permite, e de modo temperado quando tocam com um instrumento temperado (MED, 1996, cap. V).

Blatter descreve esse processo como uma escuta ativa. Cantores e instrumentistas de cordas e de sopro ajustam cada nota enquanto tocam. Em testes controlados, instrumentistas de cordas tenderam a usar a afinação pitagórica, com terças maiores mais largas e menores mais estreitas que as da série harmônica (BLATTER, 2007, parte 6, apêndice III).

E há ajustes que dependem da direção da música. Um intervalo diminuto tende a se fechar, e soa melhor com as duas notas um pouco mais próximas; um aumentado tende a se abrir, e soa melhor um pouco mais largo. Blatter calcula que o semitom diatônico, de dó a ré bemol, é cerca de 10% menor que o temperado, e o cromático, de dó a dó sustenido, quase 15% maior (BLATTER, 2007, parte 6, apêndice III). É a mesma conclusão das comas de Med, com outra régua.

Isso dá à grafia um peso que o piano esconde. Escrever dó sustenido ou ré bemol não é só uma questão de leitura: para quem afina livremente, são duas alturas diferentes.

O que vem depois

Com a série harmônica e a afinação na mão, dá para voltar à harmonia com outros olhos: por que os acordes em terças soam como soam, e por que certos acordes parecem aparentados com outros.